Física : 3.10 Norma de un Vector

La definición general de norma se basa en generalizar a espacios vectoriales abstractos el concepto de módulo de un vector de un espacio euclídeo. En un espacio no euclídeo la noción de camino más corto entre dos puntos no es mas identificable con el de la línea recta; por lo cual, se recurre a las propiedades operacionales de la norma euclídea. Definamos entonces lo que es una norma euclidea. En un espacio euclídeo los vectores son representados como segmentos orientados entre puntos del espacio (euclideo). Dado un vector de un espacio vectorial euclídeo, la norma de un vector es definida como la distancia (en línea recta) entre dos puntos A y B que delimitan al vector. Coincidiendo en un espacio euclídeo la norma de un vector con el módulo del vector AB.

• En dos dimensiones:

• Ampliando lo anterior al espacio euclídeo de tres dimensiones, es de igual forma elemental que:

• En el caso general de un espacio euclídeo de n dimensiones se tiene que:

De esto se sigue que, fijada una base ortonormal B en la cual un vector V se da a partir de sus componentes en esta base, VB=(v1,v2…..,vn), la norma de dicho vector vendrá dada por:

De la norma euclidea se extraen entonces las condiciones que debe cumplir la “longitud de un vector”, o norma vectorial, en un espacio vectorial. Estas condiciones siempre son positivas e independientes de la orientación de la medición. La longitud es directamente proporcional al tamaño y entre dos puntos será menor o igual que la suma de longitudes desde esos mismos dos puntos a un tercero distinto de ellos. Dichas condiciones generan la siguiente definición matemática:

Decimos que :

es un operador que define la norma del vector x, y lo expresamos como,

si cumple lo siguiente:

(esto sería una desigualdad triangular, la suma de dos lados de un triángulo nunca es menor que el tercer lado).

Cualquier operador que cumpla con las tres condiciones que hemos visto es un operador norma. A continuación tenemos ejemplos de algunos posibles operadores norma.