3.12 Complemento Ortogonal

Dado un subespacio S, su complemento ortogonal (o simplemente su ortogonal) es el único subespacio (denotado por S⊥ ) que cumple: • dim S + dim S = n (donde n es la dimensión del espacio total), ⊥ ⊥ • S es ortogonal a S.

Ejemplo.
En R 3 , el subespacio S=planoXY tiene infinitos suplementarios (toda recta que no esté contenida en S). Pero de ellos sólo uno es su complemento ortogonal, que es el eje Z. ℜ

 Propiedades:
• S⊥ está formado por todos los vectores del espacio que son ortogonales a S. • Cualquier subespacio que sea ortogonal a S, estará contenido en S⊥ .

 Construcción del complemento ortogonal.
 Se trata de encontrar todos los vectores ortogonales a S. Basta con que sean ortogonales a su base. Por tanto planteamos un sistema de ecuaciones como en el ejemplo siguiente. Es un sistema compatible indeterminado, cuyo espacio solución será (en forma paramétrica) S⊥ . Observemos que la dimensión de S (número de parámetros) deberá ser n – dim S. ⊥
Ejemplo.
Calculemos el ortogonal del siguente subespacio de ℜ 4 : T= { (a, 0, 2a, b) : a,b∈ ℜ } Primero necesitamos una base de T: ésta es (1,0,2,0), (0,0,0,1). Buscamos los vectores que sean ortogonales a ellos, es decir, los (x,y,z,t) tales que:

  sistema compatible indeterminado cuya solución es { (2λ , µ ,–λ ,0) : λ , µ ∈ ℜ } Por tanto una base de T será (2, 0, –1, 0), (0, 1, 0, 0). ⊥ Notar que efectivamente dim T = 2 = 4 – dim T. Comprobar también que cada uno de los vectores de la base de T⊥ es ortogonal a cada uno de los vectores de la base de T.