Física : 3.2 Ejemplos Clásicos

jueves, 28 de abril de 2016

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre él mismo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

Todo cuerpo es un espacio vectorial sobre su subcuerpo, usando como producto por escalar el producto del cuerpo.

El espacio vectorial más conocido notado como

K_{}^n

, donde n>0 es un entero, tiene como elementos n-tuplas, es decir, sucesiones finitas de

K_{}^{}

de longitud n con las operaciones:

(u₁, u₂, ..., u_n)+(v₁, v₂, ..., v_n)=(u₁+v₁, u₂+v₂, ..., u_n+v_n).

a(u₁, u₂, ..., u_n)=(au₁, au₂, ..., au_n).

Las sucesiones infinitas de

K^{}

son espacios vectoriales con las operaciones:

(u₁, u₂, ..., u_n, ...)+(v₁, v₂, ..., v_n, ...)=(u₁+v₁, u₂+v₂, ..., u_n+v_n, ...).

a(u₁, u₂, ..., u_n, ...)=(au₁, au₂, ..., au_n, ...).

El espacio de las matrices

n \times m

M_{n \times m}(K)

, sobre

K^{}

, con las operaciones:

\begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} y_{1,1} & \cdots & y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ y_{n,1} & \cdots & y_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_{1,1}+y_{1,1} & \cdots & x_{1,m}+y_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1}+y_{n,1} & \cdots & x_{n,m}+y_{n,m} \end{pmatrix}

a \begin{pmatrix} x_{1,1} & \cdots & x_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ x_{n,1} & \cdots & x_{n,m} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} ax_{1,1} & \cdots & ax_{1,m} \\ \vdots & & \vdots \\ ax_{n,1} & \cdots & ax_{n,m} \end{pmatrix}

También son espacios vectoriales cualquier agrupación de elementos de

K_{}^{}

en las cuales se defina las operaciones suma y producto entre estas agrupaciones, elemento a elemento, similar al de matrices

n \times m

, así por ejemplo tenemos las cajas

n \times m \times r

sobre

K_{}^{}

que aparecen en el desarrollo de Taylor de orden 3 de una función genérica.

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