3.8 Operaciones entre Dos Subespacios

  C) SUMA DE SUBESPACIOS
 
Ya que la UNIÓN de subespacios vectoriales no tiene por qué ser un subespacio vectorial, necesitaríamos una operación alternativa que recoja en cierta forma la idea de JUNTAR o AÑADIR propia de la unión, que mantenga la estructura de subespacio vectorial
Para ello se construye la operación SUMA DE SUBESPACIOS:
Definición
Sean W₁ y W₂ dos subespacios vectoriales de V, se define la suma de estos subespacios como
 

Esta definición se puede extender a la suma de varios subespacios:
Si W_i son subespacios vectoriales, con i=1,...,n se define la suma de estos n-subespacios vectoriales como:
 


Veamos el significado geométrico de esta operación.
Ejemplo.
Dados los subespacios vectoriales de R²:
 


Vamos a estudiar geométricamente el subespacio suma con la ayuda de DERIVE. Como en ejemplos anteriores es fácil representar estos dos subespacios vectoriales que se reducen a dos rectas que pasan por el origen
 


La suma de estos subespacios es claro deducir que se trata de todo el espacio R², ya que cualquier vector del plano se puede expresar como suma de dos vectores que estén en los subespacios vectoriales citados.
 
 
La situación en R³ muestra nuevamente diversas combinaciones de los subespacios vectoriales, mostrando posiciones relativas entre planos y rectas. De esta forma si consideramos un plano de R³ que pasa por el origen y una recta que no está contenida en dicho plano y que también pasa por el origen, es fácil deducir que la suma de ese plano con la recta es todo el espacio R³.
 
 
Si tenemos en R³ un plano que pasa por el origen, y una recta contenida en dicho plano, es evidente que la suma de dichos subespacios da como resultado el propio plano.
 
 
Propiedad
Si tenemos un espacio vectorial V, se verifica:
Si es una familia de subespacios vectoriales de V entonces el subespacio
 

es un subespacio vectorialLa demostración de esta propiedad se deja como ejercicio para intentar realizar una demostración sobre objetos abstractos de un espacio vectorial.
 
 

Ejercicio I.15
Dados los subespacios vectoriales de R³

Obtener el subespacio suma y el subespacio intersección.
 
 
        D) SUMA DIRECTA DE SUBESPACIOS VECTORIALES
    Cuando tenemos dos subespacios vectoriales cuya intersección es el elemento neutro del espacio vectorial, y efectuamos la operación suma de subespacios, el subespacio resultante se obtiene añadiendo "totalmente" los vectores de uno con los de otro, es decir se realiza una SUMA DIRECTA de subespacios.
Definición
Sea V un espacio vectorial y sean W₁ y W₂ dos subespacios vectoriales de V, se define la SUMA DIRECTA de estos subespacios al subespacio  si y sólo si y además 
 
 
Ejemplo.
Sean los subespacios vectoriales
 

Se puede observar que W₁ representa un plano del espacio y W₂ una recta del espacio no coincidente con el plano, pudiéndose comprobar que , y además que Por tanto se puede afirmar que 
 
 
Además en este caso podemos afirmar que W₁ y W₂ son SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS.
 
Es decir, cuando y W=V, es decir la suma directa coincide con el espacio vectorial total, entonces se puede afirmar que los subespacios W₁ y W₂ sob SUBESPACIOS SUPLEMENTARIOS.