3.6 Subespacios Vectoriales

 En el apartado anterior hemos podido comprobar que el conjunto de los polinomios de coeficientes reales de grado menor o igual que tres tiene estructura de espacio vectorial (P_<=3(x),+,.R), y sin embargo los de grado exactamente igual a cuatro no la tienen (P₃(x),+.R).
Obsérvese que los polinomios de grado igual a tres son un SUBCONJUNTO de los polinomios de grado menor o igual que tres. Así pues de este hecho podemos extraer una conclusión clara: NO TODO SUBCONJUNTO DE UN ESPACIO VECTORIAL TIENE A SU VEZ ESTRUCTURA DE ESPACIO VECTORIAL.
Esta circunstancia obliga a conocer las condiciones que ha de cumplir un subconjunto de un espacio vectorial para mantener la misma estructura. Se trata de estudiar los SUBESPACIOS VECTORIALES.
 
 
CONCEPTO DE SUBESPACIO VECTORIAL
Antes de dar las condiciones que ha de cumplir un subconjunto para tener estructura de subespacio vectorial, vamos a intentar observar cuales pueden ser estas condiciones.
 

Consideremos el espacio vectorial (R²,+,.R), y tomemos un suconjunto de vectores del plano, por ejemplo los vectores que están contenidos en la recta x=0. Todos estos vectores son verticales, por ejemplo
(0,1), (0,3), (0,4),....
Es claro que si tomamos este subconjunto del plano que en notación analítica sería

todos los vectores contenidos en W cumplen las 8 propiedades de los espacios vectoriales. Pero para analizar si este subconjunto es un subespacio vectorial de R² bastaría comprobar dos propiedades:
        1. que sumando dos vectores del W se obtiene otro vector de W. Esta propiedad la cumple puesto que si sumamos dos vectores cuya componente primera es cero, vuelve a resultar un vector con la componente primera nula.
        2. que al multiplicar un vector de W por un escalar real cualquiera, vuelva a resultar un vector de W. Esta situación nuevamente es clara, puesto que al multiplicar cualquier escalar por la primera componente nula nos da como resultado un vector con la primera componente nula.
El resto de propiedades no es necesario comprobarlas puesto que todos los vectores del plano las cumplen y en consecuencia las cumplirán los vectores de W.    Si ahora tomamos un subconjunto formado por los vectores del plano cuya primera componente es 1, es decir

y tomamos dos vectores de este subconjunto, por ejemplo (1,2) y (1,5), obsérvese que su suma es (2,7) que no pertenece a M. Por tanto la suma no es operación interna en este subconjunto, y en consecuencia no puede ser un subespacio vectorial.
 
CARACTERIZACIÓN DE LOS SUBESPACIOS VECTORIALES.
    1.- Sea (V,+,.R) un subespacio vectorial , y sea W un subconjunto de V. Diremos que W dotado con las mismas operaciones definidas en V, es un subespacio vectorial del mismo si se verifican las dos siguiente propiedades:
                                a) 
                                b) 
una segunda forma de caracterizarlos se concreta en la condición equivalente a la anterio
    2.- W es un subespacio vectorial de V si y sólo si se verifica que

DEFINICIÓN DE SUBCONJUNTOS DE R^N
    Para definir los subconjuntos de Rⁿ suele utilizarse la relación entre las componentes de los vectores que lo componen. A esta relación, expresada en forma de ecuaciones suele denominarse expresión analítica del subconjunto, definida por las denominadas ECUACIONES CARTESIANAS del subespacio.
Por ejemplo, si consideramos

Podemos deducir que los vectores de este subespacio son aquellos vectores que verifican esta relación entre sus componentes. De esta forma el vector (1,1,1) es claro que no está en el subespacio W₁, sin embargo el vector (1,1,2) si pertenece a dicho subespacio. Las ecuaciones cartesianas en este caso son

x+y-z=0

    Para determinar cómo  son los vectores de este subespacio resultaría más útil, encontrar un procedimiento mediante el cual se pudiera  determinar de forma automática cómo son los vectores del mismo. Un procedimiento para obtener estas ecuaciones que determinan el subespacio, sería obtener las soluciones del sistema de ecuaciones que definen al mismo.
    En este caso como tenemos sólo una  ecuación es fácil deducir que
                        z=x+y
    Por tanto, z depende de dos valores independientes.
Las infinitas soluciones de este sistema (que en este caso está formado por una sóla ecuación) serían de la siguiente forma:
 

ecuaciones que suelen denominarse ecuaciones PARAMÉTRICAS del subconjunto.
De esta forma es fácil determinar cómo son los vectores del subespacio, pues en este caso serían (x,y,x+y).
 
Hecho este inciso , podemos realizar algunos ejemplos con los que probemos cuando un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio vectorial de éste.
 
Por ejemplo, si tomamos el subconjunto anterior W₁, tendríamos que comprobar lo siguiente:
 

Dados dos vectores del mismo y dos números reales cualesquiera a,b se trataría de comprobar si .

Vamos a efectuar esta operación con DERIVE.
Podríamos utilizar dos alternativas.
        1ª ALTERNATIVA)
 

Definamos dos vectores genéricos de R³ utilizando el comando AUTHOR:

A continuación deberemos de construir el vector a*u+b*v y comprobar si cumple las ecuaciones del subconjunto. Definimos por tanto el vector y simplificamos (SIMPLIFY):
    Vamos a ver si sus componentes verifican las condiciones del subespacio W₁. Según la ecuación cartesiana que define al subespacio debe cumplirse que primera componente mas segunda componente  menos tercera componente debe valer cero. Si construimos esa expresión y luego simplificamos tenemos:

Pero obsérvese que los vectores u y v pertenecían a W₁ por tanto cumplían que
x1+y1-z1=0 y x2+y2-z2=0, y en consecuencia, es claro que la última expresión ha de valer cero. Por tanto W₁ es un subespacio vectorial de R³.
 
        2ª ALTERNATIVA)
Considerando los vectores con las restricciones del subconjunto, es decir en vez de definir los vectores genéricos, tomar dos vectores del subconjunto W₁. Según hemos visto antes los vectores de W₁ son de la forma (x,y,x+y), luego definiríamos en DERIVE:

Y ahora editaríamos la expresión a*u+b*u , tras simplificar se obtiene

que como se observa toma la expresión de un vector de W₁.