Física : 3.13 El Producto Vectorial en R

En matemáticas, el producto vectorial de Gibbs o producto cruz es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican, y por lo tanto normal al plano que los contiene. Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Sean dos vectores

\mathbf a

\mathbf b

en el espacio vectorial

\mathbb{R}^3

. El producto vectorial entre

\mathbf a\,

\mathbf b\,

da como resultado un nuevo vector,

\mathbf c\,

. El producto vectorial

\mathbf a

\mathbf b

se denota mediante

\mathbf a \times \mathbf b

, por ello se lo llama también producto cruz. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra x (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante:¹

$\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}, \qquad \mathbf{a} \times \mathbf{b}$

El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:

${\mathbf a \times \mathbf b = (|\mathbf{a}| |\mathbf{b}| \sin{\theta})\ \hat{\mathbf n}}$

Producto Vectorial según el ángulo entre vectores

donde

\hat{\mathbf n}

es el vector unitario y ortogonal a los vectores a y b y su dirección está dada por la regla de la mano derecha y θ es, como antes, el ángulo entre a y b. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorchos.

Precisiones

Se denomina producto vectorial del vector a por el vector b ² al vector denotado por

a \times b

y definido por las tres exigencias siguientes:

el módulo de $a \times b$ es igual al módulo de a por módulo de b por $sen \phi$ , en donde $\phi$ es el ángulo orientado formado por los vectores a y b
el vector $a \times b$ es perpendicular a cada uno de los vectores a y b
la dirección del vector $a \times b$ respecto a los vectores a y b es igual que la del eje coordenado Oz respecto a los ejes coordenados Ox y Oy, como si girase de Ox a Oy y avanzase en la dirección positiva de Oz.

Producto vectorial de dos vectores

Sean los vectores concurrentes de

\mathbb{R}^3

, el espacio afín tridimensional según la base anterior. Se define el producto:

\mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k

\mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k

\mathbf w = w_x \mathbf i + w_y \mathbf j + w_z \mathbf k

Donde w es el producto vectorial de u y v, definido así:

\begin{array}{rrcl} \times : & \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 & \longrightarrow & \mathbb{R}^3 \\ & (\mathbf u , \mathbf v) & \longrightarrow & \mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v \end{array}

donde la última fórmula se interpreta como:

\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = (u_yv_z-u_zv_y)\mathbf i + (u_zv_x-u_xv_z) \mathbf j + (u_xv_y-u_yv_x) \mathbf k

esto es:

w_x = u_y v_z - u_z v_y

w_y = u_z v_x - u_x v_z

w_z = u_x v_y - u_y v_x

Usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):

\mathbf w = \mathbf u \times \mathbf v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\ u_x & u_y & u_z \\ v_x & v_y & v_z \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} u_y & u_z \\ v_y & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf i - \begin{vmatrix} u_x & u_z \\ v_x & v_z \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf j + \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix} \cdot \mathbf k

Que da origen a la llamada regla de la mano derecha o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de