3.3 Dependencia e Independencia Lineal

Vectores linealmente dependientes

Varios vectores libres del plano se dice que son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal.

Propiedades

1. Si varios vectores son linealmente dependientes, entonces al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

También se cumple el reciproco: si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

2. Dos vectores del plano son linealmente dependientes si, y sólo si, son paralelos.

3. Dos vectores libres del plano  = (u₁, u₂) y  = (v₁, v₂) son linealmente dependientes si sus componentes son proporcionales.

Ejemplo: 

Determinar los valores de k para que sean linealmente dependientes los vectores ,  y . escribir  como combinación lineal de  y, siendo k el valor calculado.

Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz que forman es nulo, es decir que el rango de la matriz es menor que 3.

Vectores linealmente independientes

Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

a₁ = a₂ = ··· = a_n = 0

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales.

Ejemplo: 

Estudiar si son linealmente dependientes o independientes los vectores:

 = (2, 3, 1),  = (1, 0, 1),  = (0, 3, −1)

a (2, 3, 1) + b(1, 0, 1) + c (0, 3, −1) = (0, 0, 0)

r = 2 n = 3 Sistema compatible indeterminado.

El sistema tiene infinitas soluciones, por tanto los vectores son linealmente dependientes.

Fuente: http://www.vitutor.com/analitica/vectores/depandencia_independencia.html